Kontradikcija
Ova logička metoda je ponikla kod helenskih filozofa. Pretpostavlja se da prvi put nije upotrebljena u filozofskom ili matematičkom slučaju već kod filozofa sofista koji su ovu metodu koristili kao advokati u sudovima. Tada su dokazivali nevinost svojih štićenika započinjući „pretpostavimo da je moj štićenik kriv..." (lat. argumentum a contrario) i na kraju pokazivali kako to dovodi do protivrečnosti sa postojećim dokazima. Tako su oni efektno i elegantno dokazivali nevinost, a ova metoda je ubrzo postala prihvaćena od svih filozofa kao logički nepobitna.
Sledeća karika je Sokrat, veliki filozof mada ne i matematičar, koji je uveo hipotezu u matematičko mišljenje. On tvrdi da pored istine postoji i hipoteza, pretpostavka, tvrdnja, pa onda izvodi logičke posledice. Ako se tom prilikom naiđe na protivrečnost tada je jedini uzrok bila loša pretpostavka te se ona ima odbaciti. Zbog ovoga neki Sokrata smatraju utemeljivačem logike.
Sokratov učenik Platon je vodeći filozof helenskog doba, idealista, koji je u svojoj borbi protiv materijalista, atomista, išao dotle da je uništavao njihove spise i doslovce, a protiv njihovih učenja i uticaja se borio dokazujući da su neistinita. Atomistička misao je bila plodna u nekim poljima. U geometriji su uspeli da dođu do formula za izračunavanje površine nekih figura ili zapremine nekih tela svojim naivnim ali ipak efektnim metodama. Platon je lepršavi i naivni atomistički sistem odbacio i postavio sistem u kome se sva znanja baziraju na nekoliko osnovnih istina (aksioma) koje se ne dokazuju i ne mogu se dokazivati, već su date kao takve, i sve ostale koje se logički dokazuju odnosno izvode iz ovih istina. Jedna od omiljenih metoda postaje upravo dokazivanje svođenjem na protivrečnost. Nešto kasnije Platonov učenik Eudoks Kniđanin pronalazi autentično novu metodu iscrpljivanja (ekshaustiju) i idealisti pobeđuju u ovoj borbi.
Aristotel je dao ključni doprinos i sistematično razradio pitanja deduktivne logike. Kod njega se metoda svođenja na kontradikciju zove svođenje na nemoguće. Između ostalog je i objasnio zakon o neprotivrečnosti i zakon isključenja treće mogućnosti. Ova metoda je značajno oruđe logike u rukama Euklida i upravo u Elementima je odigrala ključnu ulogu u izgradnji logički zasnovane škole geometrije.
Međutim, najveći doprinos primeni ove metode je dao Arhimed. On je u svojim spisima ovu metodu doterao do neslućenih razmera čak prevazilazeći granice kojima je metoda predodređena. Arhimed je, prema sopstvenom priznanju, našao neke zaturene spise atomista sa njihovim genijalnim, ali logički slabo potkovanim tvrdnjama i shvativši da su njihovi zaključci istiniti uspeo da nađe zaobilazne metode da do tih rezultata dođe na potpuno originalan ali zbunjujući način. Ovo se saznalo tek dvadeset vekova posle njegove smrti, slučajnim pronalaskom jednog zaturenog spisa u kome je on otkrio kako je smišljao i pronalazio rešenja za komplikovane probleme koje je rešavao. Njegova metoda uvođenja međukoraka, zaobilaznih pretpostavki i lema, a potom svođenja na besmislicu početnih tvrdnji je i za matematičare XVII i XVIII veka predstavljala izvor očajanja.
Ovako izgrađeni, Arhimedovi dokazi nisu davali uputstva kako ovu metodu primeniti i na neke druge, srodne slučajeve. Današnjim rečnikom rečeno, ne vidi se kako se generički rešava jedna klasa problema. Tu se videlo još nedostataka ove metode. Ona je dobra za proveru i dokazivanje rezultata (poznatog ili pogođenog) ali je loša za nalaženje novog, još nepoznatog rešenja. Stari matematičari su govorili da metoda više zbunjuje nego što razvija um, jer čitalac ne zna odakle se pojavilo rešenje, pošto nema jasne slike o vezama između istina i postojanju uzročno posledičnog lanca.
Čestitamo
Ukoliko možete da pročitate ovaj članak, uspešno ste se registrovali na Blog.rs i možete početi sa blogovanjem.